La formula di Euler
Fu René Descartes (1596-1650) nell’opera De Solidorum Elementis a formulare una relazione che legava vertici, spigoli e facce dei poliedri regolari.
L’opera originale è andata perduta, ma nel 1859 venne ritrovata una copia manoscritta del trattato. In questa sono esposte tutta una serie di considerazioni che per
mettono di formulare la relazione, che, un secolo più tardi, Leonhard Euler (1707-1783) riscoprì e cui oggi è attribuito il nome: la formula di Euler.
Denominati con V il numero dei vertici, con F quello delle facce e con S quello degli spigoli, risulta: V+F = S+2.
In realtà Descartes non si accorse del notevole risultato ottenuto, che avrebbe potuto raggiungere semplicemente ponendo in relazione alcuni degli asserti da lui dimostrati. Questa svista si spiega sulla base degli obiettivi che il matematico si era prefissato nel suo studio delle superfici poliedriche. Infatti per Descartes lo studio delle figure platoniche nasceva dall’esigenza di estendere alle superfici tridimensionali una proprietà di natura prettamente metrica, che si verifica per le figure piane, riguardante la somma degli angoli interni.
L’intenzione di Euler, un secolo più tardi, era invece quella di trovare una classificazione soddisfacente per le figure dello spazio, in analogia con quelle del piano.
I poligoni prendono il nome dal numero dei lati da cui sono limitati. Inizialmente venne trasferita sui poliedri un’analoga classificazione, e venne quindi dato il nome di tetraedro alla figura con 4 facce, ottaedro a quella con 8 e così via. Tuttavia, a differenza di quanto accade per i poligoni, nei poliedri il numero delle facce F non coincide necessariamente con il numero dei vertici V. Si cercò allora una rappresentazione che tenesse conto di facce e vertici, ma ancora non bastava: esistevano infatti poliedri con stesso numero di facce e vertici, ma aventi forme diverse. Lo stesso accadeva anche considerando gli spigoli S.
Fu durante questi studi che Euler iniziò a notare come per molti poliedri si potesse determinare il numero S, conoscendo F e V, e formulò la relazione.
Nata come congettura, frutto di osservazioni compiute su vari esempi, Euler la trasformò in una formula vera e propria trovandone qualche anno dopo una dimostrazione, che però non era del tutto corretta. La relazione infatti non è valida per tutti i poliedri: fanno eccezione alcuni poliedri non convessi.
