Dossier

Era il 1811 quando il matematico francese Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) presentò le sue prime Memorie. Si trattava di ricerche sui poliedri, intraprese su consiglio di Lagrange.

Nella Prima Memoria Cauchy dimostrò che non esistono che nove poliedri regolari. A quelli già conosciuti, vi aggiunse i 4 non convessi, che si ottengono prolungando i lati di un poliedro convesso regolare dello stesso ordine di quello di cui sarà il “nucleo”.

Inoltre generalizzò la formula di Euler al caso di una rete P di poliedri. Chiamando V il numero dei vertici, F  quello delle facce e S quello degli spigoli, la formula diventava:

V + F = S + P + 1.

Si deve però osservare che la formula di Euler, e di conseguenza quella di Cauchy, non vale che per una particolare classe di poliedri, i poliedri Euleriani, omeomorfi ad una sfera (che si possono cioè deformare in modo continuo fino a farli coincidere con una sfera).

Per esempio per i poliedri anulari, omeomorfi ad un toro, come venne in seguito osservato dal matematico ginevrino Simon Antoine Jean Lhuillier, si ha:

V + F = S

A soli 20 anni Cauchy formulò inoltre la prima dimostrazione rigorosa della formula di Euler.

Nella sua Seconda Memoria del gennaio 1812 Cauchy fornì la dimostrazione per assurdo di una proposizione nota dal tempo di Euclide e mai dimostrata prima, secondo cui due poliedri convessi composti da facce uguali disposte in modo simile, o sono identici o sono simmetrici.