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La forma sferica di una bolla porta con sé il problema di rendere minima la superficie dato un volume fissato.

In generale, il problema di minimizzareo analogamente di massimizzareuna quantità è noto dai tempi più remoti: nell’Eneide, Virgilio riporta la vicenda di Didone, la quale appena giunta sulle coste africane si presentò al re del luogo per chiedere un pezzo di terra. Alla futura regina di Cartagine venne offerta, non senza un certo sarcasmo, tanta terra quanta “cerchiar di un bue potesse un tergo”, ovvero quanto la pelle di un bue poteva circondare. Didone, con arguzia matematica, tagliò la pelle in sottili strisce e disegnò un semicerchio: aveva risolto il problema di circondare con la lunghezza delle strisce la maggior estensione di terra possibile. Da un punto di vista matematico, il problema consisteva nel determinare la figura di area massima dato un certo perimetro.

Tuttavia, è solo nel ‘700 che la questione divenne una disciplina rigorosa: furono dapprima Eulero e poi il torinese Lagrange a gettare le basi del cosiddetto calcolo variazionale, branca dell’analisi volta a studiare le configurazioni minime di una certa quantità, fissati determinati vincoli. La sfera è il più noto rappresentante della questione: è il solido tridimensionale che minimizza la superficie rispettando un vincolo di volume.

Dagli studi di Lagrange nacque lo studio delle superfici minime o minimali, in cui la quantità da minimizzare è l’area esterna e il vincolo è dato da condizioni sul bordo della superficie stessa. Qualche anno dopo, il francese Meusnier interpretò i risultati di Lagrange da un punto di vista geometrico: una superficie minima ha sempre curvatura media uguale a zero. Che cosa significa? Scegliamo un punto sulla superficie e immaginiamo di tracciare una retta per il punto sulla superficie: la retta sarà costretta ad incurvarsi a causa della forma stessa della superficie. La curvatura esprime di quanto la retta deve incurvarsi per seguire esattamente la superficie. A seconda della direzione che sceglieremo, la curvatura cambierà, raggiungendo un valore di curvatura massima e un valore di curvatura minimo. La media aritmetica dei due valori di massimo e di minimo è proprio la curvatura media.

In generale, richiedere che la curvatura media sia nulla significa richiedere che la curvatura massima sia l'opposto della curvatura minima: la superficie quindi si incurverà verso l'interno in certe direzioni e verso l'esterno in altre direzioni, compensando le une con le altre.

Sono superfici minime il catenoide (a) e l’elicoide (b): dato come vincolo il bordo, esse presentano proprio l’area minima.

Se ad esempio provassimo ad immergere in acqua e sapone un filo metallico dalla forma di un’elica (b), otterremmo proprio un elicoide, la superficie minima con quel bordo fissato.

Insomma, ancora una volta, una questione di risparmio!