Dossier

Questo errore è molto diffuso e abbraccia tutti i tipi di gioco a pronostico (Lotto, Totocalcio, Superenalotto, Roulette, eccetera). Il concetto di “numero ritardatario” prevede i valori che non si presentano da molto tempo abbiano maggiori possibilità di essere estratti.

Il giocatore che cade in questa trappola crede di affidarsi alla scienza della legge dei grandi numeri, la quale afferma che più il campione di prove che si considera è numeroso, più è difficile trovare scostamenti fra le frequenze con cui esce un numero o un altro. In realtà, la legge dei grandi numeri non dà alcun sostegno all’idea del ritardo.

Vediamo perché, considerando come esempio il lancio di una moneta. I due esiti possibili, ‘testa’ o ‘croce’, hanno la medesima probabilità di verificarsi: 1 su 2, ovvero 0,5 che è il 50%. Se però proviamo a lanciare effettivamente una moneta un certo numero di volte, ben difficilmente otterremmo il 50% esatto. Con 10 lanci potremmo avere 7 volte ‘testa’ e 3 volte ‘croce’. Avremmo così una frequenza dell’evento ‘testa’ pari a 7 su 10, il 70%, con conseguente frequenza dell’evento ‘croce’ pari al 30%. Le due frequenze possono quindi discostarsi significativamente dalle relative probabilità teoriche. Ma se supponiamo di lanciare la moneta 100 volte anziché 10, difficilmente avremo ancora valori così distanti dal 50%. Se è facile che con 10 lanci possa venire per 7 volte ‘testa’, è molto più difficile che con 100 o 1000 lanci venga per ben 70 o 700 volte ‘testa’ (valore necessario per avere ancora una frequenza del 70%). In questo caso le due frequenze potrebbero arrivare, per esempio, a 0,6 e 0,4. E se i lanci fossero decine di migliaia o più anche due frequenze come 0,6 e 0,4 risulterebbero difficili da ottenere: i valori trovati sarebbero invece più vicini a 0,5, l’effettiva probabilità teorica.

Quello che si ricava da queste considerazioni è che all’aumentare del numero di prove eseguito, le frequenze dei due eventi si avvicinano al valore delle rispettive probabilità. Questo è il dei grandi numeri.

Dove avviene l’errore del giocatore? Nel travisare la frase che dice “all’aumentare del numero di prove” con la frase “dopo un elevato numero di prove”. Ecco allora che se, per esempio, esce 9 volte di seguito ‘testa’, al decimo lancio il “ritardologo” crederà sia più probabile l’uscita ‘croce’. Il comportamento della moneta appare bizzarro ed è quindi facile pensare che la faccia con la ‘croce’ abbia un diritto di rivalsa. Se all’aumentare delle prove le frequenze vanno aggiustandosi verso le relative probabilità, significa che le discordanze devono bilanciarsi... allora l’evento ‘croce’ deve avere qualche possibilità in più di verificarsi rispetto all’evento ‘testa’. Giusto? No. Al decimo lancio i due eventi sono ancora equiprobabili nonostante vi siano stati prima 9 lanci con l’uscita della ‘testa’.

Infatti la legge dei grandi numeri non dice che la probabilità si bilancia “dopo un elevato numero di prove...”. Non si può mai considerare un dopo o un durante. Il concetto di probabilità è un concetto a priori. Nel nostro caso, l’evento “testa per 9 volte di seguito” è un fatto ormai già accaduto, quindi la sua probabilità è del 100%; è cosa certa. Non ha senso utilizzare una tale informazione per successive valutazioni statistiche.

Ogni volta che si lancia la moneta, si riparte sempre da zero. La stessa definizione di evento ritardatario si basa sull’errore di stabilire arbitrariamente un momento in cui fissare l’inizio delle prove. Si considera cioè un certo ‘adesso’ e da questo si definisce un certo ritardo. Ma cosa sappiamo della vera storia di una moneta? Non potrebbe darsi che, prima del nostro giochino, quella moneta (o un’altra simile dall’altra parte della Terra) fosse stata lanciata da altre persone e si fosse presentata per 20 volte di seguito proprio la "croce"?