Glossario

Fra le persone che si dedicano al gioco del Lotto ve ne sono alcune che tengono in gran conto la statistica, convinte che possa servire per determinare quei numeri che avrebbero le maggiori probabilità di essere vincenti. Secondo queste persone, gli eventi associati alle uscite dei 90 numeri del Lotto non sarebbero del tutto equiprobabili: i numeri che non si presentano da molto tempo avrebbero infatti maggiori possibilità di essere estratti. A partire da questa credenza sono nati il concetto di “numero ritardatario” e l’approccio statistico-sistemistico che si autodefinisce “lottologia scientifica”.

Queste opinioni non hanno in realtà alcun fondamento scientifico. Esse si basano su un’errata interpretazione della legge dei grandi numeri. La formulazione della legge dei grandi numeri, purtroppo, si presta a essere male interpretata per colpa di una distinzione temporale che viene dimenticata dai lottologi quando si dedicano ai concetti di probabilità e di frequenza statistica. Vediamolo in dettaglio.

Probabilità classica, frequenza statistica e legge dei grandi numeri

Consideriamo il lancio di una moneta: esistono due esiti possibili, ‘testa’ o ‘croce’. Se la moneta non è truccata, sappiamo che entrambi questi esiti hanno le medesime probabilità di verificarsi, sono cioè equiprobabili. Supponiamo di puntare sull’uscita dell’evento ‘testa’. Il calcolo delle probabilità di vincere è banale: la probabilità (classica) di un evento è data dai casi favorevoli (quelli cioè in cui l’evento può accadere) diviso il numero di casi possibili. Il risultato è 1 su 2, cioè 0,5.

Come si vede dall’esempio la probabilità di un evento è un numero compreso fra zero e uno (per comodità, se ne esprime il valore in percentuale, così 0,5 diventa il 50%). È possibile dare un significato, coerente con la definizione, anche ai due estremi dell’intervallo di valori associati alle probabilità: lo zero rappresenta un evento impossibile e l’uno un evento certo. I casi di ‘testa’ o ‘croce’ stanno dunque nel mezzo.

A questo approccio di tipo teorico, si affianca un approccio di tipo sperimentale: il lanciare effettivamente la moneta un certo numero di volte per vedere poi che cosa succede. Si introduce quindi il concetto di frequenza statistica di un dato evento. Continuiamo col semplice esempio del lancio di una moneta. Supponiamo di lanciarla 10 volte di seguito e che gli esiti siano 7 volte ‘testa’ e 3 volte ‘croce’. Si definisce frequenza di un evento sperimentale, il numero delle volte che l’evento si verifica diviso il numero totale delle prove eseguite.

In base a questa definizione, la frequenza dell’evento ‘testa’, nelle nostre ipotesi, è dunque 7 su 10 (cioè 0,7), mentre la frequenza dell’evento ‘croce’ è 0,3. Le due frequenze, com’è noto, possono discostarsi significativamente dalle relative probabilità (che valgono entrambe 0,5).

Supponiamo ora di lanciare la moneta 100 volte anziché 10. Di nuovo le due frequenze potranno discostarsi dalle relative probabilità, ma si noterà sperimentalmente che il disaccordo sarà, con più facilità, percentualmente inferiore. In pratica, se è frequente che con 10 lanci possa venire per 7 volte ‘testa’, è molto più difficile che con 100 lanci venga per 70 volte ‘testa’ (il valore necessario per avere ancora una frequenza relativa pari a 0,7). Capiterà invece più comunemente di ottenere magari 60 volte una faccia della moneta e 40 volte l’altra, così le due frequenze potrebbero arrivare a 0,6 e 0,4.

Se i lanci fossero però un migliaio o ancor di più anche due frequenze vicine a 0,6 e a 0,4 risulterebbero rare: è infatti piuttosto improbabile che esca per 600 volte ‘testa’ e per 400 volte ‘croce’ (o viceversa) su un totale di 1.000 prove.

Quello che si può scopre è che all’aumentare del numero di prove eseguito, le frequenze relative dei due eventi si avvicinano al valore delle rispettive probabilità. Questo è il significato della legge dei grandi numeri. Si noti che la frase dice “all’aumentare del numero di prove” e non “dopo un elevato numero di prove”. La differenza concettuale fra un’interpretazione corretta o errata della legge sta tutta qui.

Il decimo lancio e i suoi possibili esiti

Approfondiamo questa distinzione con un esempio concreto. Supponiamo di lanciare la moneta per 9 volte di seguito e di ottenere sempre ‘testa’. Anche se è improbabile, può succedere. A questo punto lanciamo per la decima volta in aria la moneta e vediamo cosa accade.

Mentre volteggia, approfittiamone per fare una riflessione. Noi sappiamo bene che la moneta ha due facce e che ognuna di esse ha pari possibilità di uscire, altrimenti la moneta sarebbe truccata. Sappiamo anche, però, che da ben 9 volte l’evento ‘croce’ non si manifesta, e un tale comportamento ci appare bizzarro. Siamo dunque fortemente tentati di credere che la faccia con la ‘croce’ abbia in qualche modo un diritto di rivalsa. Se poi consideriamo (un po’ frettolosamente) la legge dei grandi numeri, possiamo anche cercare un sostegno scientifico a questa nostra sensazione.

Se all’aumentare delle prove le frequenze vanno aggiustandosi, pensiamo, significa che le discordanze con la probabilità classica vanno via via bilanciandosi: allora l’evento ‘croce’ deve avere qualche possibilità in più di verificarsi rispetto all’evento ‘testa’. Puntiamo quindi su ‘croce’.

Un altro scommettitore, proprio di fianco a noi, sta intanto facendo un ragionamento del tutto opposto al nostro. Dopo aver visto uscire (con i suoi stessi occhi) per ben 9 volte ‘testa’, gli viene naturale pensare: “Perché dovrei puntare i miei soldi sulla ‘croce’ che, sperimentalmente, ha dimostrato di presentarsi di meno? Se è vero che la storia insegna qualcosa...” e punta sull’evento ‘testa’.

Chi fa la scelta più ragionevole? Da una parte si invoca la legge dei grandi numeri, dall’altra una sorta di propensione caratteristica della moneta. Guardiamo di nuovo la moneta che volteggia in aria e facciamo un’ultima considerazione: la moneta ha forse modo di sapere ciò che è accaduto nei 9 lanci precedenti? E se non può conoscere il passato, poiché è solo un pezzo di metallo, come può modificarsi la probabilità a essa associata, sbilanciandosi da una parte o dall’altra? Quale strano influsso potrebbe subire, l’ignara moneta?

Equiprobabili, nonostante tutto

Le probabilità che esca ‘testa’ oppure ‘croce’ al decimo lancio sono ancora esattamente pari a 0,5. Questa è la realtà. Entrambi i giocatori possono vincere come perdere, nessuno dei due è più furbo o più accorto dell’altro, perché nessuna delle due giocate risulta più probabile dell’altra. Sia l’evento ritardatario sia l’evento storicamente più frequente rimangono saldamente ancorati al loro 50%.

E questo non è in alcun modo in contraddizione con la legge dei grandi numeri. Caratteristica peculiare della matematica è infatti il non essere auto-contraddittoria, e il calcolo delle probabilità è una branca della matematica.

Vediamo come si spiega il fatto che al decimo lancio i due eventi sono ancora equiprobabili nonostante vi siano stati prima 9 lanci con l’uscita dell’evento ‘testa’. Come accennato, la legge dei grandi numeri non dice “dopo un elevato numero di prove...”, ma “all’aumentare del numero di prove...”. Pensare che dopo 9 lanci si tenda all’equilibrio è dunque un’interpretazione scorretta della legge, che porta inevitabilmente a costruire teorie pseudoscientifiche.

La legge, infatti, dice che più l’insieme di lanci che si considera è grande, più è difficile che le frequenze statistiche si discostino di molto dalle relative probabilità. Ma in queste valutazioni non si può mai considerare un dopo o un durante. Il concetto di probabilità, infatti, è un concetto squisitamente a priori.

Nelle ipotesi del nostro esempio, l’uscita dell’evento complessivo “testa per 9 volte di seguito” è ormai un fatto già accaduto (quindi la sua probabilità è 1, ovvero è cosa certa), perciò non ha alcun senso utilizzare una tale informazione per successive valutazioni statistiche. Quindi, ogni volta che si lancia la moneta, si riparte sempre da zero.

La stessa definizione di evento ritardatario si basa su un errore concettuale: quello di stabilire arbitrariamente un’origine dell’asse del tempo. Infatti, solo quando si decide di contare la frequenza di un evento a partire da un certo ‘adesso’ si può ottenere una valutazione del ritardo. Ma cosa sappiamo noi della ‘vera storia’ di una moneta? Non potrebbe darsi che, proprio cinque mesi prima del nostro giochino, quella stessa moneta fosse stata lanciata da altre persone e si fosse presentata per 9 volte di seguito, o anche 18 volte, la ‘croce’? Oppure: non potrebbe esserci, a mille chilometri da noi, un’altra moneta simile che da ben 9 volte non presenta la ‘testa’? È chiaro che elucubrazioni di questo tipo ci portano inevitabilmente fuori dalla scienza statistica...

Anche nel caso del Lotto…

Il discorso fatto per la moneta vale, ovviamente, anche per le estrazioni del Lotto. I numeri del Lotto sono infatti anch’essi equiprobabili (se la ruota non è truccata) e la probabilità che ognuno di essi si presenti è sempre di 1 su 90. Così pure nel SuperEnalotto: non possono quindi esistere sestine più probabili (da tenere) e sestine meno probabili (da scartare), come riescono a far credere i sedicenti esperti di sistemi.

Chi vuole giocare i numeri ritardatari o quelli più frequenti attraverso complicati sistemi lottologici, deve sapere che si sta affidando alla scienza né più né meno di chi va da un mago per farsi predire il prossimo Terno.