Nata a Brescia il 13 gennaio 1902, di antica famiglia di origine biellese, formatasi nella Torino della tradizione antifascista, si laurea in filosofia per dedicarsi, giovanissima, all'insegnamento, dapprima nei licei torinesi, in seguito all'Università, come assistente di Federico Kiesow. Il padre e il fratello Aurelio sono entrambi medici. Ad Aurelio Costa, studioso della tiroide nonché primario presso l'ospedale Mauriziano di Torino, si deve l'introduzione della medicina nucleare in Italia.
Angiola Costa completa la propria formazione scientifica a Ginevra in ambiente piagetiano, a Berlino e in svariati laboratori di ricerca tedeschi. Nell'Istituto di psicologia torinese, in collaborazione con Alessandro Gatti, compie ricerche nell'ambito allora innovativo della psicologia del lavoro. Chiamata a Cagliari nel 1957 dalla Facoltà di Magistero a ricoprire la cattedra di Psicologia, diventa in seguito Preside di questa stessa facoltà, e ha come allieva e assistente Nereide Rudas, proveniente da studi neuropsichiatrici. La Rudas fonderà in seguito la prima clinica psichiatrica in Italia.
In Sardegna opera non soltanto in ambito scientifico e didattico, ma si distingue anche per l'impegno sociale, umanitario e nel mondo del lavoro. Esponente del Partito Comunista, deputato alla Camera dal 1963 al 1968 per il collegio di Cagliari, si interessa a questioni legate alla maternità e all'infanzia con ricerche e interventi «sul campo». Verificando in prima persona le condizioni di vita delle casalinghe e delle madri lavoratrici nelle zone più depresse dell'isola, lamenta l'assenza di asili nido e di consultori, nonché la carenza delle condizioni sanitarie nelle aree agropastorali. Si fa portavoce della richiesta di migliori servizi assistenziali, ponendosi anche alla testa di manifestazioni popolari. Paladina dell'emancipazione femminile, visita i quartieri popolari e periferici della città, da lei definiti «l'altra Cagliari».
Tornata a Torino nel 1964, è Professore ordinario di Psicologia sperimentale presso la Facoltà di Magistero. Fonda e dirige a partire da questa data l'Istituto di Psicologia sperimentale e sociale, improntando il suo insegnamento e la sua ricerca a una vasta problematica psicosociale. Nel 1969 le viene conferito l'incarico per l'insegnamento della Psicologia sociale. Fonda e dirige la «Rivista di psicologia sociale e sperimentale». Al biennio 1968/69 risale la sua proposta di istituire la Scuola di specializzazione in psicologia, articolata in due indirizzi: differenziale e scolastico, e sociale e del lavoro. I corsi prevedono la durata di tre anni, con frequenza obbligatoria e lezioni sia teoriche sia sperimentali di metodologia della ricerca psicologica, psicologia generale, psicologia dinamica, psicologia sociale, teorie della personalità, tecniche psicodiagnostiche, psicologia dell'età evolutiva, del disadattamento scolastico e docimologia. Approvata nel 1970 con parere favorevole del Consiglio Superiore della Pubblica Istruzione, la scuola di specializzazione, che mira a formare i futuri «specialisti in psicologia», annovera Ada Fonzi come docente di Psicologia dell'età evolutiva.
Anche a Torino prosegue l'attività politica, diventando consigliere comunale tra il 1970 e il 1975. A questo periodo risale la sua partecipazione alla Consulta femminile regionale, nell'ambito della quale organizza convegni dedicati all'orientamento professionale e alla promozione dell'occupazione e dell'imprenditorialità delle donne.
Angiola Massucco Costa partecipa all'opera di ricostituzione e rinnovamento della psicologia italiana e torinese, non soltanto nelle vesti di docente, ma altresì come organizzatrice di convegni ai quali prendono parte eminenti studiosi dell'epoca, tra cui Cesare Musatti ed Enzo Morpurgo. Lo stesso Musatti, insieme con padre Gemelli, Gaetano Kanizsa e la Costa, aveva animato, a cavallo tra gli anni cinquanta e sessanta, il dibattito sulla percezione visiva, che caratterizza una fase importante delle ricerche della psicologa piemontese. Altre indagini riguardano i cosiddetti
Pur conservando la direzione della Scuola di specializzazione e della Scuola magistrale ortofrenica da lei fondata molto tempo addietro, Angiola Massucco Costa lascia l'insegnamento il 31 ottobre 1977. Benché lontana dalla vita accademica, continua a coltivare notevoli interessi scientifici con studi sulla creatività, l'estetica e le problematiche connesse all'emancipazione femminile. A questo proposito si segnala il seminario del 1993 sull'associazionismo femminile e l'evoluzione del ruolo della donna nella società contemporanea.
Muore a fine marzo del 2001: nel gennaio di quello stesso anno aveva compiuto 99 anni.
