Nato a Genova il 18 novembre 1872, si spegne a Roma il 6 gennaio 1953. A Genova si laurea in Matematica nel 1897, con una tesi sulla teoria geometrica dei cristalli. Fin da studente manifesta attitudini per la ricerca, pubblicando un lavoro di mineralogia su un cristallo di vesuvianite e un altro di storia della matematica su un teorema di Fermat. Nell'estate del 1897 conosce Giuseppe Peano al primo Congresso internazionale dei matematici a Zurigo e diventa suo assistente sulla cattedra di Calcolo infinitesimale all'Università di Torino fino al 1902 e dal 1904 al 1905. Entra così a far parte della scuola di Peano e collabora alla redazione delle cinque edizioni del
Tornato a Genova nel 1903 è assistente di mineralogia e tiene un corso libero di Logica matematica, le cui lezioni sono litografate con il titolo di Elementi di logica matematica. Trasferitosi a Firenze nel 1905, Vacca si dedica allo studio della lingua, della letteratura e della scienza cinesi, sotto la guida di Carlo Puini e collabora con G. Papini e G. Vailati a contrastare le posizioni di Benedetto Croce contro la logica matematica. Dopo un lungo soggiorno di studio in Cina (1907-1908) Vacca consegue nel 1910 la libera docenza in lingua e letteratura cinese presso l'Università di Firenze e dal 1911 al 1922 è incaricato di questa disciplina all'Università di Roma.
Nel 1922 vince la cattedra di Storia e Geografia dell'Asia orientale all'Università di Firenze e nel 1924 si trasferisce a Roma dove tiene anche corsi e conferenze di storia della matematica. I principali contributi scientifici di Vacca riguardano la storia e la filosofia della matematica e delle scienze, la fisica sperimentale, la mineralogia e la sinologia. Di particolare interesse nel periodo torinese sono, oltre alle note storiche del Formulario, le sue ricerche sui precursori della logica matematica, sui manoscritti inediti di Leibniz, sulla numerazione binaria e le sue segnalazioni di documenti poco noti, ad esempio sui primi anni di G.L. Lagrange.
