Esperimenti

Questa sera Paolo e Anna hanno particolarmente fretta, finita cena, cercano di sveltire le chiacchiere dei genitori e, soprattutto, si danno un gran da fare per sparecchiare la tavola e sistemare tutto in ordine: i piatti sporchi in lavastoviglie, gli avanzi ben sistemati in frigo, tovaglia e tovaglioli ordinatamente piegati nel cassetto. Anna non dimentica nemmeno di spazzare e raccogliere le briciole da terra, mentre Paolo si occupa dei coltelli e di un tagliere che devono essere lavati a mano.

Tutta questa voglia di fare è dovuta alla prospettiva di andare dai Bianchi, i vicini di casa, a festeggiare i sedici anni di Lucilla.

Quando arrivano dagli amici, i due

ragazzi trovano la festa già ben avviata. È pieno di gente! Un sacco di persone sconosciute (i Bianchi hanno veramente tanti amici), ma anche molti che conoscono bene. I fratelli non hanno certo di che annoiarsi. Mangiano, bevono, ballano, fanno i giochi più disparati, chiacchierano con vecchi amici e fanno nuove conoscenze: un vero spasso, una festa grandiosa come sempre a casa Bianchi.

Poi Lucilla apre i regali, riceve gli auguri, i baci e gli abbracci da tutti; e finalmente ci si mette a sedere per gustare una delle squisite torte che la signora Giuliana fa in queste occasioni. Cala il silenzio, ritmato solo dal masticare di una quarantina di mandibole giovani e golose.

Nella quiete che segue la mangiata e precede l'offerta del bis, si sente la voce di Paolo:

"già che siamo a una festa di compleanno, vogliamo scommettere che almeno due di noi sono nati lo stesso giorno?".

Le reazioni sono le più diverse: c'è chi sghignazza e chi lo guarda come fosse matto, ma c'è anche qualche gruppetto di ragazzi che si mette a discutere e a ragionare su quella strana scommessa. "Ma se siamo poco più di quaranta e i giorni sono 365, come fai a dirlo? Secondo noi perdi di sicuro la tua scommessa?".

Paolo sorride sotto i baffi di panna, tira fuori da una tasca un pennarello che si è portato da casa proprio per questo show, e si appropria di una delle carte che avvolgevano i regali di Lucilla: "avanti, ditemi quando siete nati", esclama con tono di sfida.

Uno a uno, mentre la signora Giuliana regola il traffico, tutti gli invitati snocciolano le loro date e, ben prima che tutti abbiano detto quando sono nati, ecco che sul foglio improvvisato compaiono due 27 marzo, "ho vinto!" strilla soddisfatto e lancia il pennarello in aria.

È inutile dire che Paolo se la ride e si gusta felice la fetta di torta che la mamma di Lucilla gli ha dato come premio. "Dato che siamo almeno quaranta, avevo più del 90% di vincere!" è l'unico commento a bocca piena che gli amici riescono a estorcergli. E questa sua nuova provocazione non fa che aumentare la discussione su come Paolo abbia fatto a vincere la scommessa. "Per me è stato solo un gran colpo di fortuna: dato che i compleanni sono una quarantina e i giorni dell'anno 365, la probabilità che ci fossero due compleanni uguali deve essere di circa un nono, cioè meno del 10%", è il commento di Carlo, il cugino grande di Lucilla, "altroché il 90%". Poiché Carlo sta per laurearsi in economia, tutti sembrano soddisfatti della soluzione: Paolo è stato fortunato. E la conversazione sembra andare su altri binari.

Ma Paolo non ci sta! Sa che la sua non è stata fortuna: chiunque avrebbe scommesso avendo avuto il 90% di vincere!

E così attacca, "No! Le cose non stanno così. Tu Carlo avrai anche studiato tanto ma qui ti sbagli". "E perché?", gli chiede il giovane in tono gentile - sa che non può mica prendersela con un ragazzino tanto più piccolo.

Paolo parte col suo ragionamento, prima un po' balbettando poi via via sempre più sicuro: "il primo compleanno scritto sul nostro elenco è il 23 febbraio, è molto probabile che la seconda persona sia nata in un giorno diverso: infatti, basta che il suo compleanno cada in uno degli altri 364 giorni. Ora, se abbiamo due persone con compleanni diversi, una terza ha un compleanno diverso da entrambe le prime due, se è nata in uno dei 363 giorni che restano. Continuando ad aggiungere persone, il calcolo della probabilità che tutti i compleanni cadano in un giorno diverso è molto semplice: basta fare il prodotto (364/365)x(363/365)x(362/365) e così via".

Carlo guarda Paolo sempre più frastornato: è veramente colpito dal calcolo complicato che quel ragazzetto sta facendo, lui stesso non aveva mica pensato a quel modo. Ma nonostante questo, non riesce a capire dove voglia andare a parare, anche perché qualcuno ha fatto con una calcolatrice i primi conti e ha gridato che "(364/365)x(363/365)x(362/365) fa appena 0,983644, cioè più del 98%".

"Bravi", commenta Paolo, "ma se andate avanti, in questo modo si trova, ad esempio, che la probabilità che 30 persone abbiano compleanni tutti diversi è circa del 30%: di conseguenza, due di loro hanno lo stesso compleanno con probabilità del 70%. E per quaranta la probabilità di avere compleanni tutti diversi è solo del 9,6% e così la probabilità su cui io scommettevo era di almeno il 90,4%".

Paolo è soddisfattissimo, non si sarebbe mai aspettato di diventare l'eroe di una festa grazie alla matematica, proprio lui poi! Che gioia i complimenti e le pacche sulle spalle di Carlo, uno che è già quasi un grande!

La festa procede spedita, i ragazzi giocano, ballano e cantano. Anna si trova al centro dell'attenzione perché è la fortunata sorellina del bravissimo Paolo. "Ma quante cose sa tuo fratello!", "ma come è bravo!", "ti fa lui i compiti?", "e quando il papà non capisce qualcosa, chiede sempre a lui?". Sulle prime, è anche contenta di quella gloria riflessa, poi comincia a starle stretta: anche perché le cose non stanno veramente proprio così!

Alla fine, Anna, che non è mai stata brava a stare zitta, sbotta: "guardate che anche senza scommettere, io so più di un problema che non sapete risolvere". A questa sua uscita, c'è chi la prende un po' in giro, chi le dice con un po' di superiorità "davvero bambina?", "la sorella del genietto sa anche lei tante cose?".

Anna si offende, diventa tutta rossa. La signora Giuliana, che la conosce da sempre, le si avvicina e rimbrotta i ragazzi più grandi "su, su, ragazzi, lasciatela stare, andate via. Non prendetevi gioco di Annina!".

È la goccia che fa traboccare il vaso. "E no!", sbotta Anna "adesso state qua e risolvete questo problema della piccola Annina" fa il verso con la voce chioccia "lo sapete che in ogni festa con almeno sei invitati ci sono o tre persone che si conoscono o tre persone estranee le une alle altre?".

Sulle prime, quasi non ascoltano il suo problema. Poi, qualcuno incuriosito comincia a ragionarci su, sembra non aver capito bene cosa significhi e Anna deve spiegare che "in ogni festa ci sono tre persone che si conoscono l'una con l'altra e, se questo non succede (cioè se in tutte le terne di persone almeno due non si conoscono), allora ci sono tre persone che non si conoscono l'una con l'altra.

Quando il problema è ben chiaro, ai più sembra un problema sciocco, ovvio, banale. Ma nessuno, con un ragionamento qualsiasi, riesce a risolverlo. Passa il tempo, i grandi, quelli che l'avevano presa in giro, cominciano ad andarle a chiedere come si risolve il problema. Ma Anna zitta. "Volete farvelo spiegare da una bimbetta? Da Annina?", li prende in giro.

Allo scoccar della mezzanotte, Paolo le si avvicina e le ricorda che devono tornare a casa, "papà e mamma hanno detto di tornare a mezzanotte. Non un minuto dopo". Quando è chiaro a tutti che Anna sta per infilarsi il cappotto e andarsene, la signora Giuliana la prega "fermati ancora un minuto e spiega a questi ragazzoni la soluzione", e dopo un sorriso conclude "altrimenti senza di te non ce la faranno".

Anna assume la posa che papà Giorgio chiama "da maestrina" e comincia "se Alice è una degli invitati, o ne conosce tre o ce ne sono almeno tre che non conosce. Diciamo che Alice conosca Bruno, Carla e Davide. Quindi, o questi tre sono estranei tra loro, o almeno due si conoscono. Nel primo caso, Bruno, Carla e Davide non si conoscono e abbiamo trovato tre invitati che non si conoscono. Nel secondo, diciamo che quelli che si conoscono sono Bruno e Carla. Allora, è vero che Alice, Bruno e Carla, sono tre persone che si conoscono, giusto? La situazione è uguale se Alice non conosce tre degli altri invitati, diciamo Elena, Franco e Giuseppe. Pertanto è proprio vero che in ogni festa con più di sei invitati ci sono tre persone che si conoscono o tre persone estranee le une alle altre. Facile no?".

Detto questo Anna saluta con la mano come una diva e scappa fuori, seguita da Paolo, tra gli applausi degli amici di Lucilla, ammiratissimi dei fratelli Apotema.

Conclusione: eventi indipendenti

Paolo stupisce tutti gli amici alla festa perché riesce a ragionare nei termini della probabilità e nella sua soluzione compaiono due concetti fondamentali: la proprietà subordinata e gli eventi indipendenti. Cominciamo dalla prima.

La probabilità subordinata è la probabilità che un evento "A" si realizzi, sapendo che un altro evento "B" si è già realizzato. La probabilità subordinata di "A" rispetto a "B" risponde alla domanda: quanto è probabile che "A" si realizzi, una volta che "B" si è già realizzato? Per semplicità, la indichiamo con il simbolo p(A|B).

Ad esempio, lanciando un dado, quant'è la probabilità che esca un numero non divisibile per quattro, se si sa che il risultato è pari? La risposta è 2/3, dal momento che i numeri pari sono tre (due, quattro e sei) e che di questi solo il quattro è divisibile per quattro. Come posso ottenere in modo generale la probabilità subordinata, con una formula?

Nel nostro esempio, 2/3 può essere scritto come (2/6)/(3/6). Vediamo adesso perché facciamo proprio questa scelta. 2/6 è la probabilità che si realizzino contemporaneamente i due eventi (B) essere pari e (A) non essere divisibile per quattro - vale a dire, la probabilità che si verifichino entrambi, che chiamiamo p(AB). 3/6 è la probabilità che esca un numero pari. Allora, nell'esempio del dado abbiamo che p(A|B)=p(AB)/p(B). Questo fatto è del tutto generale. Cioè

la probabilità subordinata p(A|B) che avvenga "A" sapendo che "B" si è già realizzato è data dal rapporto tra la probabilità che avvengano entrambi p(AB) e la probabilità che si realizzi "B", p(B)

p(A|B)=p(AB)/p(B).

La proprietà subordinata, però, sembra non centrare nulla con quanto Paolo ha calcolato sulla probabilità che due persone a una festa siano nate lo stesso giorno. Per arrivare a questo, dobbiamo spiegare cosa sono due eventi indipendenti. Come dice la parola stessa, un evento "A" è indipendente dall'evento "B" se il fatto che si verifichi "B" non influenza la probabilità che si verifichi "A". Nei termini della probabilità subordinata, "A" è indipendente da "B" se la sua probabilità subordinata è uguale alla probabilità che "A" si verifichi indipendentemente da "B",

p(A|B)=p(A).

Di conseguenza, si ottengono i seguenti fatti:

1. la probabilità che due eventi indipendenti "A" e "B" si realizzino contemporaneamente è il prodotto di p(A) e di p(B)

p(A/\B)=p(A|B)p(B)=p(A)p(B).

2. se "A" è indipendente da "B", allora anche "B" è indipendente da "A", infatti

p(B|A)=p(A/\B)/p(A)=p(A)p(B)/p(A)=p(B).

Detto a parole, due eventi sono reciprocamente indipendenti se il verificarsi dell'uno non influenza il verificarsi dell'altro. Sono esempi di eventi indipendenti, due lanci consecutivi di un dado, due estrazioni al lotto, la nascita di due persone estranee. Il fatto che Carla è nata il 27 marzo non influenza la data di nascita di Lucilla (a meno che Carla e Lucilla siano sorelle!).

E allora, è evidente che per calcolare la probabilità che due eventi si verifichino assieme bisogna fare il prodotto delle loro due probabilità. Questo perché, dal momento che sono indipendenti, possiamo calcolare la probabilità che si realizzi il primo e successivamente quella del secondo.

Sulla base di questa proprietà, Paolo calcola la probabilità che due compleanni non cadano nello stesso giorno. I compleanni degli invitati sono evidentemente eventi indipendenti, quindi Paolo ha moltiplicato tra loro le probabilità che i compleanni non cadano nello stesso giorno, fino a trovare che quaranta compleanni hanno una probabilità del 9,6% di essere tutti diversi.