Esperimenti

Come tutti i venerdì, Giorgio è andato a prendere Anna all'uscita da scuola. Ormai da tempo, tutta la famiglia ha le sue abitudini per iniziare bene il fine settimana: Paolo esce da scuola all'una e mangia da solo quello che trova nel forno. Lucia esce dall'ufficio un po' prima degli altri giorni e passa qualche ora casalinga tranquilla col figlio: leggono, riordinano qualcosina, ma soprattutto cucinano. È il loro momento di gloria, si sbizzarriscono a preparare piatti prelibati che fruttano loro complimenti ed elogi. Nel frattempo, Giorgio e Anna, una volta che questa è uscita da scuola, fanno la spesa al supermercato e si godono un momento tutto loro nel quale abbondano le risate, le battute, ma anche le discussioni un po' più serie. Insomma, è una tappa importante per la settimana di entrambi, padre e figlia.

Così, anche oggi, è con la solita allegria che Anna scende dalla macchina per recuperare un carrello mentre papà trova parcheggio. L'appuntamento è ai piedi del tapis roulant che li porta dentro al supermercato, dopo una corsa col carrello che Anna, sin da quando era piccola, ama fare camminando all'indietro.

Dato che, come avrete capito, gli Apotema sono veramente molto abitudinari, la prima cosa che fanno è precipitarsi al banco dei formaggi e prendere il bigliettino salvacode per vedere se hanno poco da aspettare o se possono cominciare a mettere sul carrello qualcos'altro.

"Quattro! Abbiamo il quattro, non c'è molto da aspettare", Anna è stata velocissima come al solito e ha già in mano il bigliettino che papà deve ancora avvicinarsi al bancone, "papà, ci conviene stare qui, sono già al novantotto, e con appena sei numeri di tempo non riusciamo a prendere nient'altro". Anna è sempre molto contenta quando ci sono questi piccoli momenti di pausa e poi oggi ha qualcosa di nuovo da raccontare, "sai che questi biglietti sono come un orologio. Devi fare i conti allo stesso modo che quando guardi l'ora.

Tu sei capace a fare le operazioni sull'orologio?".

"Certo", sorride Giorgio, "se alle nove entro in ufficio e devo uscirne otto ore dopo, so che uscirò alle cinque". "Perché?" lo incalza la bambina con l'aria saputella, forte di aver appena imparato una cosa nuova a scuola. "Perché le cinque in realtà sono le diciassette". "Ah. E se cominci a lavorare alle diciassette, le otto ore che devi fare quando finiscono?". "Be', direi, all'una di notte". "E perché?", arriva inevitabile la domanda, "l'una di notte sono forse le venticinque?". "No. Nessuno le chiamerebbe le venticinque, anche se è un po' come se lo fossero. Ma, credo che la cosa giusta è che prima aggiungo sette ore per arrivare a mezzanotte, poi me ne avanza una, ed ecco che ho l'una di notte".

A questo punto, la conversazione si interrompe: è arrivato il loro turno e devono farsi servire. Quando sono di nuovo in movimento, e Anna saltella da uno scaffale all'altro prendendo quello che Giorgio le dice, la bambina ricomincia, "le cose non sono proprio così. Adesso ti spiego io come si fa. Prima di tutto, sull'orologio ci sono dodici ore. Ogni volta che la lancetta delle ore fa un giro completo, torna di nuovo sul dodici e poi ricomincia da capo. Il dodici è un po' come se fosse l'inizio e la fine di tutto. Tutto comincia con le lancette dritte sul dodici. Così, la maestra ci ha detto che il dodici, sull'orologio, vale zero".

"Perché?", anche questa volta Giorgio si sente frastornato dalla raffica di parole che la figlia gli scarica addosso. "È semplice! Prova. Quanto fa, sull'orologio sette più dodici?". "Diciannove… cioè sette", completa velocemente papà Apotema, prevenendo l'osservazione di Anna, che sorride compiaciuta che il suo unico allievo capisca le spiegazioni: "e se ci pensi bene, papà, ogni ora più dodici non cambia, perché stai aggiungendo un giro intero". "Già", fin qui Giorgio ci arriva e, pensa tra sé e sé, non lo trova neppure troppo interessante.

D'altra parte, però, non ha troppo tempo per pensare tra sé e sé, perché subito scatta una nuova domanda, "e quanto fa quattro più nove?". "Be', secondo la regola dell'orologio fa uno".

"E i numeri dell'orologio hanno delle proprietà bellissime: c'è lo zero, cioè il dodici, che si chiama elemento neutro. Poi, quando fai una somma, puoi scambiare le due ore, proprio come fai con i numeri normali: guarda, sette più otto è proprio uguale a otto più sette. Fanno tutte e due cinque".

Anna non riprende neanche fiato. Spiega, spiega e ancora spiega la sua nuova matematica e intanto corre da uno scaffale all'altro a prendere i prodotti che conosce a memoria: la nutella e i cracker, la carta igienica e il dentifricio, le fettine di pollo e il parmigiano, poi lo yogurt, il latte, il burro... e così via.

"Sai papà, che le ore sull'orologio sono un po' come i numeri col segno più e meno. Quando tu hai un numero col segno più, ti basta prendere quello uguale col segno meno e trovi zero, se li sommi. Sull'orologio è lo stesso. Dimmi un numero!"

"Sette"

"Sette più cinque fa zero. Dimmene un altro!"

"Quattro"

"Quattro più otto fa zero. Un altro!"

"Tre"

"Tre più nove. Hai visto? Viene sempre zero. È bellissimo".

Giorgio sorride, gli piace vedere la bimba tutta così accaldata e soddisfatta. Per lei non c'è niente di più bello che insegnare una cosa nuova al papà.

"E non ho ancora finito, sai?", gli dice passandogli un salame. "Puoi anche fare la per, cioè la moltiplicazione, come la chiami tu. E funziona sempre uguale".

"Fammi vedere", sta al gioco il papà.

"Sei per tre?"

"Diciotto... cioè sei"

"Cinque per cinque?"

"Venticinque... uno!"

"Tre per sette?"

"Ventuno... nove"

"Sette per sette?"

"Uno"

"Bravo. Questa l'hai fatta al volo. Ed era anche difficile. Ma ora ancora più difficile: sei per quattro?"

"Zero"

"Otto per nove?"

"Ancora zero!"

"Certo! E fanno zero anche tre per quattro, nove per quattro, tre per otto e sei per otto. È bellissimo".

Giorgio si avvicina alla cassa. La spesa sta per finire. Un po' è contento, perché è ormai l'ora di tornarsene tranquilli da Lucia e Paolo. Un po' gli spiace, all'idea di interrompere questa divertente discussione sui numeri.

"Hai visto. Sull'orologio ci sono tante ore che, se fai la per, danno zero, mentre coi numeri normali non succede mai".

"È vero, non l'avevo notato":

"Ma la maestra ci ha detto che non succede sempre così. Pensa di avere un altro orologio, con solo cinque ore, invece che dodici. Sarebbe bellissimo, le giornate finirebbero subito, tutto di corsa: svegliarsi, mangiare, andare a scuola, mangiare, il pomeriggio, a casa, mangiare, compiti, mangiare, a letto, svegliarsi. Tutto in cinque ore! Però con cinque ore c'è una cosa bella che non capita mai: la moltiplicazione di due ore non dà mai zero, che poi su quell'orologio è cinque. Vuoi che proviamo?".

Giorgio non vuole, si fida della maestra e soprattutto di Anna. Così cambia un po' discorso, si mette a scherzare con lei. Poi si sistemano in coda e, mentre aspettano, rileggono assieme la lista per vedere se hanno dimenticato qualcosa. Per fortuna, no. Loro due sono veramente affiatatissimi per fare la spesa. Non solo si divertono, ma ricordano sempre tutto. E spesso si fanno anche delle belle chiacchierate. Coi numeri.

Conclusione: gruppi modulari

Quando si dividono tra loro due numeri naturali, il divisore e il dividendo, il risultato è costituito da due numeri: il quoziente e il resto. Il resto è sempre più piccolo del divisore, quindi ci sono tanti resti possibili quanto è il divisore.

Facciamo un esempio: se vogliamo dividere per 5 (divisore), i resti che possiamo ottenere sono 0, 1, 2, 3, 4.

Quello che possiamo fare, dopo aver fatto queste divisioni per 5, è raggruppare tutti i numeri che danno lo stesso resto. Tecnicamente, vogliamo risolvere, ad esempio, l'equazione x=3 (mod5), che ha come soluzioni tutti i numeri x che hanno come resto 3 nella divisione per 5. Facendo così otteniamo cinque classi che indichiamo con

[0]= {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35…}

[1]= {1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36…}

[2]= {2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37…}

[3]= {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38…}

[4]= {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39…}

Le classi [0], [1], [2], [3], [4] si chiamano classi modulari o classi di resto (perché vengono costruite grazie ai resti della divisione per 5): in ciascuna classe ci sono tutti i numeri che danno lo stesso resto.

I numeri dell'orologio dei quali parla Anna sono le classi di resto nella divisione per 12. I numeri del salvacode al banco dei formaggi sono le classi di resto nella divisione per 100.

Le classi di resto, modulo 5, formano un insieme che si chiama gruppo modulare, o gruppo di modulo, e si indica con Z5.

Ci sono due proprietà importanti delle divisioni che dobbiamo ricordare: il resto della divisione della somma di due numeri è uguale alla somma dei resti; e lo stesso succede per il prodotto: il resto della divisione del prodotto di due numeri è uguale al prodotto dei resti.

Ad esempio, 23 diviso 5 dà resto 3, 42 diviso 5 dà resto 2; allora 65 (=23+42) diviso 5 dà resto 0 (infatti la somma di 3 e 2 è 5 che si può ovviamente dividere per 5 con resto 0); 966 (=23x42) diviso per 5 dà come resto 1 (infatti il prodotto di 3 e 2 è 6 che diviso per 5 dà come resto 1).

Tutto è più chiaro se ci esprimiamo nei termini delle classi di resto

[23]=[3] [42]=[2] e quindi [23]+[42]=[3]+[2]=[5]=[0]

[23]=[3] [42]=[2] e quindi [23]x[42]=[3]x[2]=[6]=[1].

Possiamo allora scrivere le tavole pitagoriche della somma e del prodotto tra le classi di resto nella divisione per 5.

+ [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [1] [2] [3] [4]

[1] [1] [2] [3] [4] [0]

[2] [2] [3] [4] [0] [1]

[3] [3] [4] [0] [1] [2]

[4] [4] [0] [1] [2] [3]

x [0] [1] [2] [3] [4]

[0] [0] [0] [0] [0] [0]

[1] [0] [1] [2] [3] [4]

[2] [0] [2] [4] [1] [3]

[3] [0] [3] [1] [4] [2]

[4] [0] [4] [3] [2] [1]

Alla fine dell'episodio al supermercato, Anna fa osservare a Giorgio che ci sono alcuni gruppi modulari con una strana proprietà: esistono coppie di elementi il cui prodotto fa zero. Ad esempio, in Z12 il prodotto [3]x[4]=[12]=[0].

Questa proprietà, distingue i gruppi modulari in due grandi categorie: quando il divisore è un numero primo (come 5), nel gruppo modulare non esistono due elementi il cui prodotto faccia zero; quando invece è un numero composto (come 12), si possono trovare coppie di elementi che hanno prodotto zero: è sufficiente prendere due divisori di 12, come 3 e 4, o come 2 e 6; oppure due numeri che danno come prodotto un multiplo di 12, come 3 e 8, 6 e 4, 6 e 8, o 9 e 8.