Esperimenti

Lo sconto sulle scarpe - Percentuali

Come tutti i venerdì, Giorgio e Lucia Apotema hanno la fortuna di avere un'ora libera in ufficio proprio nello stesso momento. Così, anche oggi sono riusciti a fare qualche commissione per casa. Hanno comprato un CD che Anna e Paolo devono portare questa sera alla festa di compleanno della loro amica Lucilla; un paio di scarpe per Giorgio e quaderni, carta e bloc-notes per la scuola dei ragazzi.

Poi, prima di tornare ciascuno al proprio lavoro, hanno il tempo di sedersi a bere un caffè nel bar dove andavano sempre quando erano fidanzati. È un'abitudine che non hanno perso e che cercano di portare avanti ogni volta che possono: e così è frequente che il venerdì mattina, dopo un acquisto, dopo essere stati in posta, in banca o in qualche altro ufficio, si concedano un quarto d'ora di nostalgica relax. E riescono finalmente a parlarsi con un po' di tranquillità senza le mille interruzioni dei figli, come accade solitamente a casa.

"Vai tu a fare la spesa, oggi? Ce la fai?" chiede Lucia, ben sapendo che sarà così. "Certo, pensavo di passare a prendere Anna all'uscita da scuola e andarci con lei. Paolo invece torna da solo".

"Ricordati di comprare latte e parmigiano per la besciamella, e abbiamo anche finito lo scottex e il dentifricio...", "... e Paolo, quando ci siamo salutati, mi ha ricordato che è finita la nutella!", "compragliela. Poi per il resto, prendi le solite cose della lista", solite cose che, nel pomeriggio, non mancheranno di riempire all'inverosimile il carrello, per la gioia di Anna che a fare la spesa con papà torna piccina e corre tra gli scaffali a prendere questo e quello come ha sempre fatto.

Tra una cosa e l'altra, il tempo passa in fretta ed è quasi l'ora di rientrare in ufficio. Prima di alzarsi, Lucia chiede a Giorgio di vedere le scarpe che hanno appena comprato. Mentre gli Apotema le ammirano, a Lucia scappa da dire "certo che la commessa è stata una bella pasticciona! Non sapeva neanche se erano scontate o no", "purtroppo non lo erano", sospira Giorgio, "prima ci ha messo lo sconto e poi ce l'ha tolto!". "Però, così, ci ha fatto risparmiare un euro: alla fine non se l'è mica sentita di aggiungercelo e ha voluto darmelo di resto".

"Scusa un po'. Non ho mica capito, cos'è successo? Perché ti ha restituito un euro?".

Lucia, che stava già per alzarsi, si rimette a sedere comoda e spiega a Giorgio che "dopo aver battuto il prezzo, ci ha fatto uno sconto del 10%. Poi le è venuto un dubbio, ha controllato e ha visto che le tue scarpe non erano scontate e così ha aumentato il prezzo scontato del 10%..."

"... ed è tornata al prezzo delle scarpe. Perché allora dici che ti ha fatto risparmiare un euro? Se prima ha tolto il dieci per cento e poi l'ha rimesso, alla fine il prezzo deve essere quello di prima, no?".

Detta così, a Lucia, la cosa sembra plausibile. Però sa anche che le scarpe costavano cento euro e che la cassiera gliene ha dato uno di resto, facendogliene pagare solo novantanove: che la cassiera si sia sbagliata a darle il resto?

Lucia non sa che dire. Prima le sembrava che fosse giusto aver ricevuto un euro. Ora, dopo le parole di Giorgio, non ne è mica più tanto sicura. Non sa che dire, cosa ribattere. E mentre pensa alla situazione, le capita tra le mani lo scontrino di Scarpe&Scarpe, "guarda, prima ha battuto il prezzo di cento euro, poi ha scritto "meno dieci per cento" e ha ottenuto novanta euro. Dopo che si è accorta dell'errore, ha aggiunto "più dieci per cento" e le è uscito novantanove euro. Come è possibile?".

Giorgio, che si è sporto in avanti per leggere anche lui, ci pensa un po' su ed esclama, "prima ha tolto dieci euro, che sono il dieci per cento di cento euro. Poi ha aggiunto nove euro, che sono il dieci per cento di novanta euro. E così ha ottenuto i nostri novantanove".

Adesso Lucia è veramente confusa. Se in un primo momento pensava di avere le idee chiare, poi ha iniziato a dubitarne, e ora è sicura di non capire più niente, "ma se ha prima tolto e poi aggiunto il dieci per cento, come ha fatto ad avere un risultato diverso?".

"Il fatto è che i due dieci per cento non sono uguali! il primo è il dieci per cento di cento euro, il secondo è più piccolo: infatti è il dieci per cento di novanta".

"Ah! Questo lo capisco. Invece non capisco perché non funziona quando io tolgo e aggiungo i miei dieci per cento".

"Prova a vederlo così: il dieci per cento di sconto significa che paghi solo il novanta per cento. Giusto?"

"Sì. È ovvio"

"Allo stesso modo, se paghi il dieci per cento in più, stai pagando il centodieci per cento del prezzo.

"Scusa?"

"Certo. Il prezzo aumentato del dieci per cento diventa proprio il centodieci per cento. Infatti se aggiungi a cento euro il loro dieci per cento ottieni proprio centodieci euro". Lucia fa cenno di sì con la testa, pensosa.

"E cosa succede se prima hai uno sconto e poi hai un aumento?", Giorgio si è ormai lanciato nella spiegazione e non le lascia neanche il tempo di rispondere, "Per saperlo devi moltiplicare quello che succede quando hai uno sconto, con quello che hai con un aumento: e così devi fare 90/100 per 110/100. Che fa 9900/10000".

"Che, se non sbaglio, è proprio il novantanove per cento al quale è arrivata la cassiera. Bravo. Hai proprio ragione".

"Direi che in cambio di tutti questi calcoli, la cassiera di Scarpe&Scarpe ha fatto proprio bene a regalarci un euro! Che pasticcio".

Giorgio finisce di bere il caffè che ha lasciato freddare nella tazzina, tutto preso dalla discussione, raccoglie la schiuma col cucchiaino e gli viene un dubbio "mi sa che siamo stati proprio fortunati. Se lo sconto era un po' più alto, potevamo finire a dover pagare qualche euro di più".

Lucia rimane interdetta da quest'osservazione. Ci pensa un po' su. Scrive qualcosa sul retro dello scontrino, poi tutta decisa lo contraddice.

"Guarda che ti sbagli. Devi ripetere il tuo ragionamento per ogni sconto e viene sempre un guadagno".

"E perché?"

"Mi sembra proprio che sia così. Quando c'è uno sconto, mi hai detto che devo moltiplicare per (100-S)/100 il prezzo"

"Non capisco, cos'è quella esse?"

"È lo sconto, no? E se si torna indietro, faccio come dici tu, e moltiplico per (100+S)/100".

Giorgio è un po' allibito. Non riesce più a seguire Lucia. Così prende la penna che lei ha appoggiato e fa le due moltiplicazioni su un tovagliolino del bar.

"Mi sa che hai proprio ragione, in ogni caso si ottiene sempre che alla fine si paga (10000-S2)/10000 del prezzo, che è sempre più piccolo del prezzo di partenza".

"Quindi, ci andava bene in ogni caso. Anzi, più era grande lo sconto e più avremmo risparmiato. Ma se avesse dovuto toglierci troppi euro, credo proprio che la cassiera si sarebbe scusata e ci avrebbe fatto pagare il nostro prezzo intero!".

Detto questo, Lucia sorride a Giorgio e getta un'occhiata all'orologio, "oh, mi si è fatto tardi, devo tornare immediatamente in ufficio". Si alzano, sistemano nella scatola le scarpe nuove, pagano i loro caffè, si salutano con un bacio veloce e ciascuno si precipita verso il proprio posto di lavoro, felici di essere riusciti a ritagliarsi un'oretta tutta per loro due, senza impegni, preoccupazioni, figli, domande, problemi.

Entrambi sanno che una pausa come questa rende più leggera e sorridente tutta la giornata.

Conclusione: percentuali

Quello che succede a Giorgio e Lucia è piuttosto frequente. Spesso infatti tendiamo a fare delle somme dove tutto sarebbe più facile con delle moltiplicazioni. Così, Giorgio e Lucia si confondono sull'aggiungere al prezzo un dieci per cento, dopo aver tolto la stessa percentuale.

Detto in parole povere, il loro errore consiste nel considerare uguali i dieci per cento di due prezzi diversi. Cerchiamo di spiegarci meglio.

Quando abbiamo un prezzo, chiamiamolo P, se vogliamo scontarlo del dieci per cento, possiamo scrivere il prezzo scontato S in due modi diversi (che ovviamente vogliono dire la stessa cosa!)

S=P-(1/10)P=(9/10)P.

Le due scritte dicono la stessa cosa, ma vediamo in dettaglio cosa significano. Nella prima, stiamo togliendo da P 1/10 di P (vale a dire il 10% del prezzo iniziale). Nella seconda, moltiplichiamo P per 9/10 (che è il 90% del prezzo iniziale, cioè esattamente il prezzo intero (100%) ridotto del 10%).

Cos'è successo dopo a Giorgio e Lucia? che hanno dovuto aggiungere di nuovo il dieci per cento; per farlo, la cassiera ha dovuto calcolare un nuovo prezzo P' che era dato dallo sconto aumentato del dieci per cento. Scriviamolo di nuovo nei due modi possibili P'=S+(1/10)S=(11/10)S, che può essere riscritto sostituendo il valore di S.

Calcoliamo separatamente le due sostituzioni per fare esplicitamente i calcoli

P'= S+(1/10)S= P-(1/10)P+(1/10)[ P-(1/10)P]=

=P-(1/10)P+(1/10)P-(1/100)P=P-(1/100)P

P'=(11/10)S=(11/10)(9/10)P=(99/100)P.

L'errore commesso da Giorgio e Lucia è di applicare in modo scorretto la prima delle due uguaglianze. La scorrettezza consiste nel "dimenticarsi" l'ultimo addendo, -(1/100)P, e di risommare semplicemente (1/10)P dopo averlo tolto.

Tutto questo può essere evitato se si considera invece la seconda uguaglianza, quella che porta a dire che P'=(99/100)P. In questo caso, poiché si fanno due moltiplicazioni, è più facile procedere in modo corretto. Inoltre, questa seconda via, mostra chiaramente che calcolare prima uno sconto del dieci per cento e poi un incremento della stessa percentuale è la stessa cosa che calcolare uno sconto del dieci per cento dopo aver applicato un incremento della stessa percentuale.

Il primo dei due calcoli del nuovo prezzo P'=P-(1/100)P è invece interessante per un altro aspetto: ci garantisce infatti che, qualsiasi percentuale di sconto consideriamo, se prima l'aggiungiamo e poi la togliamo, il prezzo che otteniamo è sempre più piccolo di quello di partenza.

Sostituiamo al dieci per cento uno sconto qualsiasi che chiamiamo "x". Allora, il prezzo scontato di x è S=P-xP mentre il prezzo aumentato è

P'=S+xS che si riscrive come P'=P-xP+x(P-xP)=

=P-xP+xP-x2P=P- x2P.

Poiché x2 è sempre maggiore di zero (tutti i quadrati lo sono), P' è sempre più piccolo di P, qualsiasi sia lo sconto x. Infatti, P' si ottiene da P togliendogli la quantità sempre positiva x2P. Naturalmente, se lo sconto x è molto piccolo, la differenza tra P' e P lo è ancora di più. Ad esempio, se il prezzo iniziale P è di 100 euro, in corrispondenza di diversi valori di x, troviamo i valori di P'

x=50%=1/2 implica P'(x)=75€

x=33%=1/3 implica P'(x)=88,88€

x=20%=1/5 implica P'(x)=96€

x=10%=1/10 implica P'(x)=99€

x=5%=1/20 implica P'(x)=99,75€

x=2%=1/50 implica P'(x)=99,96€

x=1%=1/100 implica P'(x)=99,99€