"Paolo", chiama la mamma dalla cucina, mentre finisce di rassettare, "puoi mica guardare se è arrivata posta?".
"Dove sono le chiavi".
"Nella mia borsetta sulla cassapanca".
Andare a prendere la posta è sempre stato un divertimento per i figli Apotema. Da sempre fanno a gara per essere i primi. E così Paolo non si fa pregare e va, ben contento che Anna sia impegnata a fare i compiti, dopo essere rientrata a casa dal supermercato con papà.
Al suo rientro, Paolo esibisce il solito tesoro famigliare: due riviste per grandi e un Almanacco di Topolino, la bolletta del gas e la cartolina di un amico da Algeri, un po' di pubblicità e una lettera senza mittente. Paolo sa già cosa fare: riviste e bolletta finiscono sul tavolo, la pubblicità aumenta il mucchio della carta da riciclare, la cartolina viene appesa alla bacheca di sughero e Topolino finisce sul suo comodino, non senza una protesta da parte di Anna. Il ragazzo, ovviamente, la ignora e ritorna da mamma con la busta anonima, "la apro?".
Lucia le lancia un'occhiata distratta, poi, con le mani sporche e bagnate, gli fa cenno di sì. "Cos'è?", chiede dopo un certo tempo che il figlio è concentrato nella lettura del contenuto della busta.
"Credo che serva per diventare ricchi. Adesso ti leggo!".
Mamma ascolta con un orecchio: ha intuito di cosa si tratta, ma lascia che Paolo lo capisca da solo.
"Qui dice che è molto semplice. Sull'altro lato ci sono cinque indirizzi. Bisogna spedire cinque euro al primo, cancellarlo e aggiungere il nostro nome in fondo. Poi si fotocopia la lettera e si scrivono i quattro indirizzi più il nostro dietro. Si manda la lettera a cinque amici e si aspetta che arrivino i soldi", Paolo elenca i passaggi da fare uno a uno, con calma, man mano che li legge in un lungo testo pieno di spiegazioni. A questo punto sembra un po' perplesso, non gli è chiaro come si diventa ricchi dopo aver spedito cinque lettere e cinque euro. Lucia sorride appena e lo lascia andare avanti nella lettura.
"Qui dice che presto ci arriveranno 15.625 euro! Non diventiamo proprio ricchi, ma almeno potremo cambiare la macchina o qualcosa del genere. Proviamo?"
"Ma Paolo, è una catena di Sant'Antonio!". A questa risposta, Paolo esibisce una delle sue facce perplesse: che risposta è mai questa! E la mamma non può che scoppiare in una sonora risata,
"Non sai cos'è una catena di Sant'Antonio?"
"No, perché?". Come tutti i ragazzi della sua età, anche Paolo trova naturale non sapere le cose che non sa e non è ancora entrato nella fase in cui ci si vergogna di quello che s'ignora. Di conseguenza, Lucia è ben contenta di mettersi a spiegargli cos'è una catena di Sant'Antonio.
Gli racconta che è un meccanismo col quale sembra di poter raggiungere in poco tempo tante persone. In realtà, il suo funzionamento è semplice da capire, ma non può essere davvero realizzato. L'idea è di mandare un messaggio a un piccolo gruppo di amici e di chiedere loro di spedirne a loro volta altrettante copie, e così, di spedizione in spedizione il numero delle persone che riceve il messaggio aumenta sempre più. Peccato che, molto presto, le persone sono troppe perché questo piano possa realizzarsi veramente.
"Perché dici così?"
"Pensa alla lettera che hai in mano", riprende Lucia. "Dopo la prima spedizione le persone che l'hanno ricevuta sono 5, al secondo turno diventano 25, al terzo 125 e così via. Basta che vengano fatte undici spedizioni perché siano raggiunte quasi cinquanta milioni di persone (poco meno che tutti gli Italiani) e dopo quattordici spedizioni, si superano i sei miliardi".
"Non ci credo!"
"Provaci".
Detto fatto, Paolo corre in camera, prende carta, penna e calcolatrice e si mette a moltiplicare un cinque dietro l'altro e a trascrivere i risultati sul foglio. Dopo pochi minuti, torna dalla mamma con la faccia stupita ma soddisfatta: non si stanca mai di trovare incredibile come la mamma abbia sempre ragione!
"E allora," continua lei senza negarsi un sorrisetto di soddisfazione, "pensa che qualcuno abbia iniziato la catena, e che a te sia arrivata la decima spedizione. Quando iniziano ad arrivarti i soldi?"
"È semplice, dopo altre cinque spedizioni"
"E cioè?"
"Cioè alla quindicesima spedizione"
"Bene. E quanta gente riceve la quindicesima spedizione? Prova a calcolarlo".
Paolo fa un paio di calcoli sulla calcolatrice, guarda la colonna di numeri sul suo foglio e vede comparire sul cursore un bel 30517578125, "miii, è più di trenta miliardi".
"Cioè circa cinque volte il numero di tutti gli abitanti della Terra!".
"Ma allora non è possibile!"
"Già!"
"... e quindi non riceverei niente"
"Proprio così. Nel miglior dei casi ci guadagnano quelli delle prime tre spedizioni. Perché ci guadagni anche quello della quarta, devono essere spedite quasi due milioni di lettere. Per quello della quinta, le lettere devono essere dieci milioni. Poi, si superano il numero degli abitanti dell'Italia, dell'Europa e, alla decima spedizione, non basta tutto il mondo!".
Così, è evidente anche a Paolo che la catena di Sant'Antonio è, in fondo, una truffa che arricchisce solo i suoi promotori alle spalle di tutti quelli che vengono dopo, che non hanno nessuna possibilità di farcela, dal momento che mancano proprio le persone che potrebbero dare loro i cinque euro.
"Ho capito, e perché la catena di Sant'Antonio si chiama così?", Paolo per nascondere la mezza delusione di un sogno troppo presto andato in pezzi, cambia almeno un po' discorso. Lucia si aspettava questa domanda e così, mentalmente, si è preparata la risposta, riandando ai racconti della nonna. "Sant'Antonio viveva a Padova e, oltre a essere un santo, voleva diffondere la solidarietà tra tutti gli uomini e così inventò e diffuse il suo metodo, che consisteva in una semplice regoletta: chi riceve una buona azione deve sdebitarsi compiendone cinque a cinque persone diverse". "Sarà stato un fallimento, proprio come il metodo per arricchirsi", commenta Paolo. "Eh no, caro mio, perché le buone azioni sono diverse dai soldi: è sempre possibile fare una buona azione, e il metodo di Sant'Antonio funziona anche se si fanno buone azioni a chi ne ha già ricevute. Mentre col denaro non è così, altrimenti chi riceve due volte la catena di Sant'Antonio è costretto a mandarla di nuovo avanti e a pagare di nuovo i cinque euro".
Paolo non è soddisfattissimo della piega che ha preso la conversazione: va bene capire che la lettera non può far ricco nessuno e che in realtà è una truffa, ma se la mamma si mette a parlare di buone azioni, il ragazzo sospetta che ci sia più di un riferimento a come si comporta con la sorella. Così decide di spostarsi su un terreno dove è più al sicuro e si mette a parlare di qualcosa che la mamma conosce meno di lui: internet.
"Mi sa che anche lo spam è una specie di catena di Sant'Antonio". "Lo spam?", chiede Lucia che non riesce mai a ricordarsi tutte queste parole nuove dei suoi ragazzi. "Vuol dire mandare messaggi che nessuno vuole: pubblicità, barzellette, richieste d'aiuto, appelli o roba simile. Tutti quelli che hanno l'email hanno ricevuto qualcosa del genere e in moltissimi lo rispediscono ad amici e conoscenti, tanto per fare.", Paolo getta un'occhiata alla mamma per vedere se lo sta ascoltando, poi riprende, "e adesso capisco, come funzionano i messaggi per la bambina gravemente malata, che promettono che per ogni messaggio spedito qualcuno verserà un centesimo di dollaro per la ricerca sul cancro! E sai perché lo fanno?", la domanda di Paolo non vuole avere una risposta. Il ragazzo ha già deciso di continuare la sua spiegazione, "lo spam, le catene di Sant'Antonio coi mail, servono per spedire i virus. Si può anche non spedire nessun virus, veramente. Basta che tutti continuino a spedirli a più persone possibili e viene fuori una massa impressionante di messaggi duplicati e rispediti che, da sola crea ingorghi, rallentamenti, disservizi, fino ad arrivare a casi in cui alcuni siti sono tutti intasati".
Come tutti i ragazzi della sua età, Paolo è molto soddisfatto di aver disegnato uno scenario catastrofico in cui, per un semplice clic, tutto si blocca; e così è un po' deluso quando la mamma conclude la discussione dicendogli, "l'uso migliore rimane quello pensato dal Santo: compiere cinque buone azioni ogni qual volta se ne riceve una. In questo caso, nessuno rimane scontento ed è difficile immaginare un ingorgo di buone azioni che tenga impegnate miliardi di persone. Magari".
Conclusione: crescita esponenziale
Crescita esponenziale è un'espressione matematica che si sente piuttosto spesso. La si legge sui giornali, la si sente alla radio e in televisione. In molti casi, chi dice che qualcosa cresce esponenzialmente intende semplicemente che cresce moltissimo.
In realtà, però, la crescita esponenziale ha un preciso significato matematico che Lucia ha provato a far capire a Paolo.
Proviamo qui a definire e confrontare tre tipi di crescita: quella lineare, quella polinomiale e, ovviamente, quella esponenziale.
Iniziamo col cercare di chiarire cos'è una crescita: y=f(x) è una funzione che associa al numero x il numero y. Allora, diciamo che f cresce se quando x%3Cx', abbiamo che y=f(x)%3Cf(x')=y'.
(Notiamo che ci sono anche funzioni che non crescono. Ad esempio, f(x)=1/x non cresce. Infatti, f(2)=1/2%3E1/3=f(3), mentre 2%3C3; e più in generale si può vedere che f(x)=1/x decresce sempre: cioè quando x%3Cx', abbiamo che y=f(x)%3Ef(x')=y'.
Ci sono anche funzioni che non crescono nè decrescono. Un esempio di queste è la funzione y=m(x), dove m(x) è la parte decimale del numero x. Cioè, se x=5,7232, allora m(x)=0,7232. È evidente che y=m(x) non cresce e non decresce; infatti la relazione m(x)%3Cm(x') dipende solo dalle parte decimali di x e di x', ma non dal loro valore.)
Veniamo ora alle funzioni crescenti che ci interessano. La prima è la funzione più semplice di tutte, la funzione identica, y=x. Evidentemente cresce, infatti se x%3Cx', allora y=x%3Cx'=y'!
La crescita della funzione identica si chiama crescita lineare.
La seconda funzione crescente è data dal generico monomio y=xn. Ebbene, qualsiasi sia l'esponente n, la funzione xn cresce. Per esserne sicuri, ricordiamo l'identità notevole
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+...+abn-2+bn-1).
Da questa si ottiene che xn%3C x'n, quando x%3Cx', in quanto x'n-xnè positivo perché (x'-x) lo è.
La crescita di un monomio si chiama
La terza funzione crescente è, ad esempio, l'esponenziale y= 5x. Abbiamo scelto come esponenziale quella con base 5, perché compare nella discussione tra Paolo e Lucia, ma il ragionamento funziona con qualsiasi base b maggiore di 1: funziona anche per y= bx, purché b%3E1.
L'esponenziale è crescente: infatti, se x%3Cx', allora 5x'-5x= 5x5x'-x -1è positivo.
La crescita di un esponenziale si chiama, per l'appunto,
Disponiamo ora di tre funzioni che crescono: l'identità, tutti i monomi e tutti gli esponenziali. Proviamo a confrontarle, in corrispondenza di alcuni valori numerici.
x - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
x2- 1 - 4 - 9 - 16 - 25 - 36 - 49 - 64 - 81
x3- 1 - 8 - 27 - 64 - 125 - 216 - 343 - 512 - 729
5x- 5 - 25 - 125 - 625 - 3125 - 15625 - 78125 - 390625 - 1953125
Dalla lettura della tabella, ritroviamo che, come già sappiamo, tutte e quattro le righe sono crescenti. Quello che è interessante è che crescono con quattro velocità diverse. La crescita lineare è quella più lenta - si avanza un passo alla volta. Le due crescite polinomiali sono un po' più veloci. Quella esponenziale è più veloce di tutte.
Notiamo anche che x3è più veloce di x2. In generale, man mano che cresce l'esponente n, il monomio xncresce sempre più velocemente. In ogni caso, però, tutti gli xn sono sempre più piccoli e più lenti di ogni esponenziale.
Per curiosità, osserviamo che esistono crescite ancora più veloci di quella esponenziale. Diamo solo un'occhiata alla seguente tabella:
x - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9
5x-5 - 25 - 125 - 625 - 3125 - 15625 - 78125 - 390625 - 1953125
xx- 1 4 - 27 - 256 - 3125 - 46656 - 823543 - 16777216 - 387420489
dalla quale vediamo che ci sono crescite veramente velocissime!
