Prima di cena, Lucia ama prendersi un momento di relax e sedersi a leggere. Si immerge nel suo libro e si isola dalla vita famigliare. Sente e non sente le voci di Paolo e Giorgio che sistemano in cucina quanto non hanno potuto riordinare prima perché lei finiva di pulire, e quindi che apparecchiano la tavola. Paolo ci tiene molto che, quando si siedono a tavola, tutta la cucina sia bene in ordine, perché dice che non si mangia bene nel caos e tra le pentole sporche. Lei è ben contenta di lasciarli fare, soprattutto il venerdì sera che sono tutti un po' più rilassati e anche se se la prendono comoda il mattino dopo si può dormire un po' di più.
Mentre legge, Anna se ne sta tranquilla al tavolo della sala a fare i primi compiti e ogni tanto le lancia un mezzo commento, la aggiorna su quello che hanno fatto a scuola in settimana, le mostra un compito fatto bene. Ci sono poi le volte, e oggi è una di queste, che la bambina non riesce a non raccontarle qualcosa che l'ha entusiasmata davvero.
"Sai mamma che abbiamo studiato come crescono le gemme sui rami? È tutto merito di un numero: 0,618". Lucia sa come vanno queste cose e mette il segnalibro alla pagina che stava leggendo. Ma del resto i momenti di calma servono anche a questo, a godersi un'inaspettata conversazione con la figlia sulle piante e sui fiori. Così si interrompe di buon grado e si prepara ad ascoltare Anna, "veramente?".
"Prima ti spiego cosa devono fare gli alberi", comincia con grande attenzione la bambina, che non vuole dimenticarsi nemmeno una parte della spiegazione. "In primavera, è tutto un rifiorire di alberi, rinverditi dalle prime foglie. Nuovi rami si lanciano verso il cielo. La maestra ci ha spiegato come questi rami crescono, come si sistemano, in che direzione si dirigono. Da ogni gemma nasce un ramo, e il ramo punta nella direzione in cui è spuntata la gemma". Lucia annuisce e con lo sguardo va alla pianta che troneggia di fianco al divano. Anna si avvicina e mamma e figlia guardano per un po' le nuove gemme e le nuove foglie: in casa non c'è certo bisogno di aspettare la primavera per vederne spuntare di nuove.
Ma presto, Anna rinuncia alla distrazione e torna alla sua spiegazione, "l'albero ha bisogno di avere i rami in modo da prendere più aria e più sole possibile: solo così può crescere alto e forte e dare tanti frutti. Come fa? Come è possibile che le gemme non spuntino a caso una qua e una là, dandosi fastidio l'una con l'altra?".
Lucia che conosce la passione di Anna per i racconti lunghi e avvincenti, sa benissimo che queste non sono vere domande, ma solo un modo per verificare che lei continua a stare attenta e che segue il discorso. Così le dà corda e chiede a sua volta "come fa?".
"Qui c'entra la matematica e il numero 0,618!", esclama Anna soddisfatta di aver tirato fuori dal cilindro il suo coniglio matematico. "Sai cos'è?".
"No", non esita a rispondere la mamma che ignora davvero cosa sia questo strano 0,618.
"È la sezione aurea ed è un numero fantastico.
Ci puoi fare tutto: la maestra ci ha mostrato delle diapositive bellissime dove c'è sempre la sezione aurea. È nascosta dentro quadri, monumenti, sculture, nel nostro corpo, nelle piante, negli animali... ma prima di tutto devo dirti cos'è. Si chiama sezione perché serve a dividere e aurea perché è preziosissima, come se fosse d'oro. Adesso ti spiego come si trova. Guarda questo disegno. Qui la maestra ha voluto dividere un segmento, ma non a metà. Ha scelto questo punto in mezzo nel modo giusto. Sai cos'è una proporzione, vero?".
È inutile dire che neanche questa volta Anna vuole veramente una risposta: sa che la mamma sa e così va avanti spedita. "La maestra ha messo il punto in modo che, il segmento, una parte e l'altra fossero in proporzione".
È vero che Lucia sa cos'è una proporzione ma, dette così le cose, ha qualche difficoltà a capire. "Per favore, Annina, scrivimi quello che stai dicendo". Al che Anna, che non ha carta e penna sotto mano, si alza e mostra alla mamma il quaderno alla pagina dove c'è la proporzione giusta, 1:x=x:1-x.
"Adesso ti spiego", riprende come un treno.
"Quella x è proprio la sezione aurea e puoi costruire molte figure con lei: il rettangolo che ha per lati la sezione aurea e il segmento; è quasi uguale a quello che ha per lati l'altra parte del segmento e la sezione aurea, solo che questo è più piccolo, ma i loro lati stanno nella stessa proporzione".
"E poi, è facilissimo fare i calcoli con la sezione aurea. Quanto fa la sezione aurea per se stessa?"
Lucia ci pensa su un attimo, guarda il quaderno di Anna e prova a rispondere, "dovrebbe essere la stessa cosa che uno meno la sezione aurea". "Brava! E se vuoi moltiplicarla per se stessa, tre volte?".
"Questo non lo so"
"Basta calcolare il doppio della sezione aurea e togliere uno. E se vuoi moltiplicarla per se stessa, quattro volte?"
Di nuovo, Lucia fa appena un cenno interrogativo con gli occhi che funziona da imbeccata per Anna, "qui devi togliere il triplo della sezione aurea da due. E puoi andare avanti così facendo sempre e solo delle sottrazioni, è bellissimo".
Lucia ride contenta dell'entusiasmo di Anna, poi la manda a prendere carta e penna e le chiede di scrivere tutti questi calcoli. Cosa che Anna fa
x
x
x
x
"Ah, ma i numeri che ti servono sono i numeri di Fibonacci!" "Li conosci?", esplode contenta la bambina. "Un poco". "Allora sai anche tu come funzionano! Il primo è 1, il secondo anche. Dal terzo in poi c'è una regola facile per trovarli tutti: basta calcolare la somma dei due numeri che vengono prima. E così ottieni 2, che è 1 più 1; poi 3 è uguale a 1 più 2; poi c'è 5, 8, 13, 21, 34 e così via".
"E tu sai da dove vengono i numeri di Fibonacci?", le dà l'imboccata la mamma.
"Certo. Fibonacci aveva una coppia di conigli, che ogni mese partoriva un'altra coppia di conigli. Devi sapere che i conigli iniziano a fare figli quando hanno due mesi. Allora Fibonacci ha voluto contare quante coppie aveva. Il primo mese, una sola; e così anche al secondo. Al terzo, è nata la prima coppia, e così Fibonacci ne aveva due. Al quarto, la prima ne ha fatta una terza; al quinto, sia la prima che la terza hanno partorito e siamo arrivati a cinque coppie. Di mese in mese, il numero delle coppie dei conigli di Fibonacci è proprio il numero di Fibonacci".
1 1
2=1+1
3=1+2
5=2+3
8=3+5...
"E cosa c'entra la sezione aurea con i numeri di Fibonacci?"
"La maestra ci ha calcolato tutte le divisioni. Guarda!", e Anna si mette a scrivere
1:2=0,500
2:3=0,666
3:5=0,600
5:8=0,625
8:13=0,615
13:21=0,619
21:34=0,618
34:55=0,618.
"Vedi, le divisioni sono sempre più uguali alla sezione aurea! La maestra ha detto che la sezione aurea ci dice che gli animali, le piante e tutti gli organismi viventi stanno crescendo nel modo giusto, proprio come i conigli di Fibonacci".
"E questo succede anche per le tue gemme?" chiede Lucia, alla quale, a sentire i rumori che provengono dalla cucina sembra che si stia avvicinando il momento di andare a cena e di concludere questa bella chiacchierata.
"Adesso ti spiego: le gemme crescono sempre vicino alla punta del ramo, che cresce, cresce e cresce, in modo lento ma costante. Perciò, le cose vanno così: una volta nata su un ramo, una gemma si dà da fare per respingere le altre gemme troppo vicine a lei. Le gemme - e i futuri rami - non possono vivere in poco spazio, allo stretto. Si porterebbero via cibo, aria e luce; crescerebbero deboli e malate.
Man mano che il ramo cresce, la gemma viene spinta verso il basso e dopo un certo tempo, in cima nasce un'altra gemma. E tutto ricomincia da capo. Quando la seconda, inizia a scendere lungo il ramo, perché il ramo cresce!, si mette il più distante possibile dalla prima gemma: le due gemme si respingono l'una con l'altra e quindi finiscono col mettersi una da una parte e una dall'altra. Quando scende la terza gemma, le spinte diventano tre, e quindi le gemme formano un triangolo equilatero. Man mano che ci sono più gemme, si mettono lungo una spirale e l’angolo che separa una gemma da ciascuna delle due più vicine, è proprio la sezione aurea dell’angolo giro. In questo modo, tutte prendono la stessa luce e lo stesso sole".
"Brava Anna. Mi sembra proprio che a scuola impariate delle cose belle e che ti divertono molto", si complimenta Lucia. "Ora andiamo a tavola che i nostri due uomini hanno finito di preparare e abbiamo tutti fame".
Conclusione: la sezione aurea
Prendiamo un segmento lungo 1 e dividiamolo in due parti a caso, lunghe x e 1-x. Quindi calcoliamo il rapporto tra le due parti (1-x)/x e confrontiamolo con il rapporto tra la prima parte e tutto il segmento x/1=x.
x=1 implica (1-x)/x=0
x=0,5 implica (1-x)/x=1
x=0,6 implica (1-x)/x=0,66
x=0,4 implica (1-x)/x=1,5
x=0,65 implica (1-x)/x=0,53
x=0,62 implica (1-x)/x=0,61
x=0,61 implica (1-x)/x=0,63
x=0,615 implica (1-x)/x=0,626
x=0,626 implica (1-x)/x=0,597
x=0,617 implica (1-x)/x=0,620
x=0,618 implica (1-x)/x=0,6181
Guardando la tabella, viene da domandarsi se esiste un punto che divide il segmento in due in modo che i rapporti (1-x)/x e x/1 siano esattamente uguali: (1-x)/x=x/1.
Detto altrimenti, ci chiediamo se è possibile trovare una parte x del segmento che sia media proporzionale tra il segmento 1 e la parte rimanente 1-x
(1-x):x=x:1,
che è un altro modo di scrivere la stessa uguaglianza.
Per trovare questo punto, dobbiamo risolvere l'equazione di secondo grado x
Questo numero, che indichiamo con la lettera "x" e che si chiama sezione aurea, ha molte proprietà interessanti. Dall'equazione che lo definisce otteniamo delle facili espressioni per calcolare le potenze di x e cioè
x
x
x
x
e così via, che sono quelle che Anna ha imparato a scuola.
Senza prestare attenzione ai segni, osserviamo quali sono i numeri che compaiono nelle diverse potenze, tenendo separati i coefficienti della x dai termini noti
Termine noto = 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55
Coefficiente di x = 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89
I numeri che compaiono nelle due righe sono gli stessi, si chiamano numeri di Fibonacci e si trovano con una semplice regola di calcolo: ciascuno è la somma dei due che lo precedono
F(n+2)=F(n+1)+F(n).
E allora, con una formula un po' complicata possiamo dire che
x
Abbiamo così che le potenze della sezione aurea si esprimono per mezzo dei numeri di Fibonacci. Vale però anche un risultato opposto. Infatti, come ha mostrato Anna, il rapporto di due numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina sempre di più al valore esatto della sezione aurea
1:2=0,500
2:3=0,666
3:5=0,600
5:8=0,625
8:13=0,615
13:21=0,619
21:34=0,618
34:55=0,618.
Basta fare otto divisioni per avere già tre cifre esatte dopo la virgola.
Quest'osservazione permette di avere un metodo per calcolare (un'approssimazione del)la sezione aurea senza dover calcolare radici quadrate: infatti basta prendere due numeri di Fibonacci consecutivi abbastanza grandi e farne il rapporto.
Seguendo questa stessa via, è anche possibile trovare, con pochi conti, approssimazioni sempre migliori della radice quadrata di cinque.
Ricordiamo infatti che il valore esatto della sezione aurea è .
Poiché, F(n)/F(n+1) approssima la sezione aurea, allora l'espressione 1+2F(n)/F(n+1) approssima la radice di cinque. Possiamo ad esempio prendere la frazione 1+2(34/55)=1+68/55=123/55=2,23636 il cui quadrato vale poco più di 5,001.
I numeri di Fibonacci hanno la comoda proprietà di offrirci espressioni con semplici frazioni che si avvicinano tanto bene quanto vogliamo alla sezione aurea e alla radice di cinque. Ci permettono cioè di evitare il complicato calcolo di una radice sostituendolo con quello di una frazione.
