Esperimenti

Integrali con la bilancia

Come ottenere la stima di un integrale definito senza passare per l'analisi matematica o numerica, ma usando semplicemente una bilancia e una risma di fogli.

Proponiamo qui un'esperienza che potrebbe sembrare di scarso interesse pratico, e che invece è di notevole originalità e grande interesse di principio. Otterremo la stima di un integrale definito senza usare gli strumenti dell'analisi matematica o dell'analisi numerica, ma solo una bilancia, un righello e una risma di fogli. Il metodo non è originale, era usato probabilmente da John Archibald Wheeler negli anni sessanta.

IL CALCOLO

Sia A l'integrale della funzione f(x) tra a e b che vogliamo stimare, ovvero l'area in giallo compresa tra il grafico di f, l'asse delle ascisse e le rette verticali x = a e x = b:

integrale

Prendiamo un solido che abbia altezza h e per base una superficie con il contorno di A:

solido per integrale

Il valore di A che cerchiamo può essere ottenuto dal volume del solido, pari a V = Ah, da cui A = V/h. Come ottenere V? Se il solido è omogeneo, il volume sarà, per definizione di densità, V = M/ρ, dove M e ρ sono la massa e la densità del solido. Quindi, misurando M e h si può usare la formula per A e ottenere il valore dell'integrale: A = M/(). Rimane il problema di realizzare un simile solido e di stimarne la densità.

COME SI FA?

Non sarà necessario realizzare in pratica il solido, basterà considerare tale un foglio su cui è disegnata la curva che delimita A (per punti o, se è possibile, tramite lo studio della funzione f).

La densità può essere calcolata sfruttando la risma da cui è preso il foglio: assumendo ragionevolmente che tutti i fogli abbiano la stessa densità (solido omogeneo), si ha ρ = Mr/Vr, dove Mr e Vr sono la massa e il volume della risma. La massa del solido, ovvero del foglio ritagliato lungo i contorni di A, si può misurare con una bilancia di precisione, spesso in dotazione nei laboratori scolastici, mentre lo spessore della carta h si può ottenere misurando l'altezza H della risma e dividendo per il numero N di fogli. Il volume della risma si può ottenere, come già detto, dalla semplice formula SH, dove S è la superficie di un foglio intero.

Sostituendo al posto di Vr , l'integrale cercato è dato infine dalla semplicissima formula: A = MSN / Mr.

Riepilogando: per stimare l'area A corrispondente all'integrale definito mostrato in figura occorre disegnare la funzione integranda in modo che l'intervallo di integrazione (a,b) coincida con la base di un foglio A4, pesare il foglio per ottenerne la massa M, pesare la risma da cui è preso il foglio per ottenere la massa Mr, misurare la superficie S di un foglio A4 intero e contare il numero N di fogli della risma. Il numero MSN / Mr sarà una stima dell'integrale cercato.

COSA CI INSEGNA?

La stima di un integrale definito che non si sappia calcolare analiticamente può essere fatta in modo molto più efficace con un banale programma per calcolatore o, se proprio si vuole lavorare a mano, ricoprendo l'area incognita con strisce di carta di area nota. Questi metodi non fanno altro che riprendere e realizzare in pratica la definizione stessa di integrale di Riemann.

Il metodo qui proposto invece esce completamente dal problema e arriva allo stesso risultato da una via del tutto scollegata. Questo è di grande valenza didattica.

Naturalmente, se si vuole che il contorno di f faccia la differenza rispetto a un'area approssimabile con trapezi e rettangoli, bisogna che il grafico sia tracciato con molta cura e che la massa M sia misurata con estrema precisione.

Questo metodo non deve sostituire gli algoritmi numerici, che se condotti con cura e con un calclatore possono essere molto precisi. Allora cosa ci insegna realmente? A parte il puro divertimento nel fare un calcolo in un modo che non usa nessuno al mondo, ciò che dovrebbe lasciare una simile esperienza è l'idea che spesso, per risolvere un problema complesso (che può essere anche insormontabile, come la ricerca delle primitive di una funzione) bisogna avere la fantasia e la creatività per inventarsi qualcosa, anche andando contro i metodi tradizionali o imboccando strade che apparentemente nulla hanno a che vedere con quel problema.

La storia della scienza è ricca di episodi in cui gli scienziati hanno affrontato i problemi da percorsi "trasversali" o addirittura rivoluzionari.

Infine, questa esperienza mostra una volta di più che la matematica sa essere spesso molto lontana da noiosi passaggi algebrici o astrusi formalismi, e può essere anche un'esperienza creativa.

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