Dossier

Tra le conseguenze dell'autosomiglianza, almeno due concetti tanto importanti quanto sorprendenti meritano dei pannelli: la dimensione frazionaria e la non derivabilità delle curve frattali.

Essendo definito da un passaggio al limite, un frattale può "riempire" il piano di più o di meno di quanto faccia una curva ordinaria (di dimensione 1). Si può allora definirne una dimensione maggiore o minore di 1 (ma minore di 2, nel qual caso coprirebbe il piano con continuità). È una dimensione frazionaria! Un discorso analogo si può estendere a più dimensioni: una superficie frattale si può estendere a dimensioni maggiori di 2, e così via.

C'è poi un argomento direttamente collegato ai programmi ministeriali: qualunque grafico di funzione, anche molto complicato, se ingrandito, prima o poi appare lineare, eccetto eventualmente in un numero finito (di solito piccolo) di punti in cui la funzione non è derivabile. Ciò corrisponde all'usuale sviluppo di Taylor in un punto attorno a cui avviene lo "zoom". Una curva frattale, invece, per essere autosomigliante (ugualmente complicata a qualsiasi scala la si guardi) non può essere derivabile in alcun punto. Simili oggetti "patologici" dell'analisi sono, per Mandelbrot, quelli di cui è fatta la natura. Quindi non delle ellissi perfette, o circonferenze, triangoli, sfere, coni, rette, e ogni altra meraviglia della geometria euclidea, ma piuttosto strutture autosimili dalle forme più improbabili. Sono queste, effettivamente, le forme della natura. La geometria usuale è solo un'idealizzazione che consente ai matematici e ai fisici di lavorare a un primo, spesso sufficiente, livello di approssimazione.