Dossier

Sedurre con la matematica: una mostra interattiva sui frattali

Gli insiemi di Mandelbrot e di Julia

insieme di Mandelbrot L'insieme di Mandelbrot vive nel piano di Gauss dei numeri complessi, basterà un pannello per introdurre i numeri complessi. I frattali non sono definiti da singole procedure o equazioni, come nella geometria usuale, ma sono oggetti "in accrescimento", definiti cioè da algoritmi che iterano infinite volte una procedura di base. I frattali dei pannelli precedenti, curva di Koch e triangolo di Serpinsky, erano generati da semplici iterazioni su triangoli. Anche l'incredibile varietà di forme che abbiamo ammirato nell'insieme di Mandelbrot sui primi pannelli è generata da un'iterazione apparentemente innocua: quella dell'espressione z2 + c (con z e c complessi).

Partendo da un valore iniziale z0 con c fissato, si calcola z1 = z02 + c e lo si inserisce nuovamente al posto di z, ottenendo z2 = z12 + c = (z02 + c)2 + c. E così via: a ogni passo, il numero si ottiene da quello precedente: zk+1 = zk2 + c. Al variare di z0, l'iterazione divide il piano complesso in due regioni complementari: una in cui la successione rimane confinata e un'altra da cui si allontana per sempre. La frontiera che separa queste due regioni assume le eleganti forme frattali dell'insieme di Julia. Se si fissa z0 e si cambia c, cambia l'insieme di Julia, che può essere connesso come la figura a sfondo giallo, oppure dissolversi in una sorta di "polvere" come la figura a sfondo azzurro.

insieme di juliainsieme di julia non connesso

Nel primo caso si colora c, nel secondo caso lo si lascia bianco. Il risultato, sondando con c l'intero piano di Gauss, è l'insieme di Mandelbrot (in bianco e nero). Le immagini colorate sono generate allo stesso modo, ma con colori che cambiano con la distanza, per apprezzare meglio il bordo degli insiemi.

La costruzione dell'insieme di Mandelbrot può essere semplificata grazie a un risultato già noto ai matematici Julia e Fatou: per stabilire se c appartiene all'insieme di Mandelbrot non è necessario generare per ogni c il relativo insieme di Julia e valutarne la natura (connesso o polvere), ma basta partire con z0 = 0 e vedere se la successione {0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ...} converge. Se converge, l'insieme di Julia è connesso e c è nell'insieme (e sarà nero); se diverge, l'insieme di Julia è non connesso e c non è nell'insieme (e sarà bianco).

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