Nato a Voghera il 6 novembre 1781, muore a Torino il 20 gennaio 1864.
Compiuti gli studi universitari all’École Polytechnique di Parigi sotto la guida di J.L. Lagrange, P.S. Laplace e A.M. Legendre, al suo rientro in Italia, per intercessione di Lagrange è nominato professore di Matematiche alla Scuola imperiale di artiglieria del Piemonte e nel 1811 ottiene la cattedra di Astronomia all’Università di Torino, che era stata ricoperta da Tommaso Valperga. Nel 1815, in seguito alla soppressione della cattedra a causa della Restaurazione, Plana passa a quella di Calcolo infinitesimale, che manterrà per il resto della vita, insegnando anche Meccanica razionale all’Accademia militare. Nominato astronomo reale da Vittorio Emanuele I nel 1817, Plana promuove la costruzione dell’Osservatorio astronomico su una delle torri di Palazzo Madama, in piazza Castello e lo dirige per oltre cinquant’anni.
Fra le sue ricerche più notevoli spiccano gli studi sulla teoria del movimento della luna, svolti in collaborazione con F. Carlini e culminati nella poderosa opera in tre volumi
Presidente dell’Accademia delle Scienze dal 1851 fino alla morte e socio dell’Accademia dei XL, dell’Accadémie des Sciences di Parigi e della Royal Society di Londra, fra i riconoscimenti più insigni va citata la grande medaglia d’oro ottenuta dalla Royal Society e la medaglia d’oro Copley dalla Royal Astronomical Society di Londra, oltre alla decorazione dell’Ordine Civile di Savoia, al Gran Cordone dell’Ordine dei Santi Maurizio e Lazzaro, al titolo di barone e alla nomina di senatore nel primo Senato italiano.