Nacque ad Asti il 13 febbraio del 1825. Nella stessa città compì gli studi inferiori, mentre a Torino frequentò l'Università, laureandosi in Ingegneria idraulica il 5 agosto del 1848.
Nel 1850 Giovanni Plana, che era stato suo insegnante e ne aveva rivolto gli interessi verso l’Astronomia e la Matematica, lo propose per la cattedra di Meccanica Razionale all'Accademia Militare, cattedra che Dorna tenne per tutto il corso della vita. Sono di questi anni vari lavori di meccanica. Nel 1865 pubblicò inoltre, per gli allievi dell'Accademia Militare, il
Nello stesso anno, deceduto Plana, venne offerta a Dorna la cattedra di Astronomia all'Università e la Direzione dell'Osservatorio Astronomico di Torino. Dorna promosse subito un ampliamento dei locali e un incremento della strumentazione, ottenne nuovo personale e iniziò, a partire dal 1866, la pubblicazione del «
Le registrazioni di stelle cadenti dalla prima alla quarta grandezza vennero raccolte, due anni dopo, nel
Dorna fu chiamato a far parte di numerose commissioni scientifiche, ricoprì cariche presso la Scuola di Guerra e la Scuola degli Ingegneri e fu eletto socio di varie Accademie: al Regio Istituto Lombardo nel 1867, all’Accademia delle Scienze di Torino nel 1869 e all’Accademia dei Lincei nel 1872. La forte personalità, unita ad un carattere semplice e gioviale, fece sì che gli venissero affidati ulteriori incarichi di fiducia nell'ambito dell'Accademia delle Scienze.
Nel 1874 il Dorna venne chiamato da Pietro Tacchini a far parte della spedizione in India per l'osservazione del fenomeno del passaggio di Venere sul disco solare. I suoi calcoli pubblicati nel 1882 furono riconosciuti tra i più accurati.
Ammalatosi gravemente, fu costretto a ritirarsi nella sua villa di Borgo San Pietro (presso Moncalieri), dove morì il 19 agosto del 1886.
